miércoles, 9 de abril de 2008

Estimación de la Incertidumbre de la Medida de un Termómetro Electrónico



Basanta Ingrid, Pérez Edar y Urdaneta Elizabeth
dergrid@hotmail.com; edarperez@hotmail.com; eliurdaneta@gmail.com
Universidad Nacional Experimental Politécnica
“Antonio José de Sucre”
Vicerrectorado Puerto Ordaz
Departamento de Ingeniería Electrónica
Maestría de Ingeniería Electrónica, Cátedra: Mediciones Industriales



Planteamiento del Problema



Para este caso se estudiara la incertidumbre de la medida basada en las características de un termómetro electrónico construido con un transductor, un amplificador operacional y un display siete segmentos, el cual posee un rango de temperatura de 0 ºC a 100 ºC, como el mostrado en la Figura 1.





En dicho estudio se considera la precisión de los dispositivos que conforman el termómetro electrónico como:



Transductor
Para todo el rango de operación posee un error de 0,05 ºC.




Amplificador Operacional
Se considera ideal y con una precisión para las resistencias de 2%.




Display
Con una resolución de 0,05%




Funcionamiento
El termopar (transductor) sensa la temperatura y la convierte en una señal de tensión en el orden de los milivoltios; dicha señal es enviada al amplificador operacional el cual la amplifica y la envía al display que genera la visualización de la misma, que es equivalente a la temperatura medida.




Cálculos:



Incertidumbre en la estabilidad del transductor (termopar).
La relación entre la temperatura sensada (TV) por el transductor y el voltaje de salida (VT) en los terminales de este se puede considerar que es lineal por lo que:



VT = STTV (1)



Donde ST es la sensibilidad del transductor en mV/ ºC.



De la ecuación (1) se puede establecer que el error de la tensión medida (eVT) es:



eVT = STeTV (2)



Donde eTV es el error en la temperatura medida, el cual se calcula mediante la siguiente relación:



(3)



Por otra parte, la contribución de incertidumbre para el transductor será:





Sustituyendo (3) en (2) y luego en (4) queda:





Al sustituir los valores numéricos para el caso de la temperatura presentada en el display (Figura 1), se tiene que:







Incertidumbre en la estabilidad del Amplificador Operacional

De igual forma el voltaje de salida V0 para el amplificador operacional es lineal y está dado por:



V0 = -(R2/R1)VT (6)



Por otro lado la ganancia del amplificador está dada por:



GA = -(R2/R1) (7)




De donde se tiene que: GA=-100
Luego se tiene que:



V0 = GAVT (8)



Cuando intervienen varios parámetros la incertidumbre total se evalúa a través de la siguiente ecuación, conocida como ley de propagación de incertidumbre:






Donde:


λi: Coeficiente de sensibilidad


ui: Incertidumbre de cada uno de los valores de entrada


Debido a que R1 y R2 son independientes entre sí, las varianzas de la ecuación (9) son nulas, entonces:





La contribución de incertidumbre para el amplificador será:






Se calculan los coeficientes de sensibilidad λ1 y λ2 derivando parcialmente la ecuación (7).





Sustituyendo en la ecuación (10) se tiene que:





Simplificando y resolviendo se tiene la incertidumbre del amplificador:





Incertidumbre en la estabilidad del display.

El máximo error del display para una decima de grado centigrado es 0,05 ºC, donde se tiene que:





Incertidumbre en la medida del termómetro.
El valor numérico mostrado en el display representara la temperatura medida (Tm). Por lo que el valor verdadero de la temperatura será:



Tm=V0+ED (12)


Sustituyendo la ecuación (1) y (8) en (12) se tiene:



Tm=GASTTV+ED (13)



Para este caso el valor medido solo depende de GA y ST, además se considera que cuando el sistema está en equilibrio GAST ≈ 1.

La incertidumbre total se tendrá a partir de la siguiente ecuación:






Se obtienen los coheficientes de sensibilidad λT, λA y λD derivando parcialmente la ecuación (13):




De la condición de equilibrio se puede decir que ST =1/GA y GA=1/ ST, sustituyendo en (15) y simplificando se tiene:


Sustituyendo todos los parámetros calculados en la ecuación (14) se tendrá:





Luego simplificando y resolviendo se tiene que la incertidumbre total es:

Um = 0,43 ºC

Finalmente se obtiene la incertidumbre de la medida para un nivel de confianza del 95% (k=2), utilizando para ello la siguiente ecuación:


I = k Um= 2×(0,43) ==> I = 0,86ºC

Donde el resultado final de la medida está dado por:


Tm= Tmc ± Ik


Luego la temperatura de salida Tm queda en:


Tm= (25,3 ± 0,9) ºC



Al graficar la incertidumbre versus la temperatura (Figura 2) se observa que el comportamiento de la misma es lineal. Además la curva muestra que para cada valor de temperatura se tendra un valor de incertidumbre, ya que la incertidumbre en cada punto de temperatura es constante.